La cuantificación en la enunciación de los derechos positivos

Autor:Txetxu Ausín
Cargo del Autor:Grupo de Estudios Lógico-Jurídicos (Jurilog) Instituto de Filosofía (CSIC), Madrid, España
Páginas:39-59
RESUMEN

1. La cuantificación - 2. Los derechos positivos y el cuantificador existencial - 3. Lógica deóntica - 4. Un ejemplo de análisis lógico-cuantificacional de los derechos positivos -

 
ÍNDICE
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1. La cuantificación

Es posible distinguir en nuestro lenguaje expresiones que afirman algo acerca de todos los individuos de un determinado tipo o clase: «Todos los metales son buenos conductores del calor»; «todos los aviones son más rápidos que los coches»; «los españoles son iguales ante la ley»; «cualquier banco cobra intereses abusivos por sus préstamos»; «los que son cristianos defienden la comunidad de bienes»; etc. Igualmente, encontramos expresiones que afirman que algunos individuos de una determinada clase comparten una determinada propiedad o relación: «Algunos profesores son incompetentes»; «hay gente que toma sus vacaciones en invierno»; «muchísimos niños mueren de hambre en el tercer mundo»; «demasiados conductores son imprudentes».

Este tipo de expresiones se encuentra claramente en el derecho y en la ciencia, donde se busca establecer enunciados de validez general o, en todo caso, de validez limitada. Es decir, cualquier ordenamiento jurídico o cualquier teoríaPage 40científica tratan de afirmar que todos los individuos de un cierto campo poseen una propiedad determinada o están en un cierta relación o que algún individuo tiene la propiedad o está con otro en la relación dada.

A pesar de que, como hemos visto, en el lenguaje natural existe una gran variedad para expresar tanto la universalidad (todos, cualquier, cada, etc.) como la particularidad (algunos, hay algún, por lo menos un, etc.), en lógica, ambas se reducen a las partículas «para todo» y «para algún», cuyos símbolos formales reciben el nombre de cuantificadores —universal y existencial, respectivamente—. Como afirma Deaño, la razón del nombre está clara: por medio de estas partículas indicamos cuántos individuos poseen una cierta propiedad o entre cuántos individuos se da una cierta relación2. La partícula «para ningún» se obtendría por la negación del cuantificador existencial, siempre que se entienda éste en el sentido de «al menos uno». En el caso del cuantificador existencial, el «reduccionismo» lógico es mayor con respecto al lenguaje natural, pues en éste cabría distinguir entre «uno», «pocos», «algunos», «muchos», «la mayoría», etc.3.

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Los precedentes de la lógica cuantificacional se remontan a la silogística de Aristóteles, pero en su forma moderna —donde los cuantificadores no son términos sino signos que determinan la fórmula a la que afectan—4 fue desarrollada por Frege en su Begriffsschrift (1879)5. En la historia de la lógica y de la ma-Page 41temática modernas se han adoptado diferentes expresiones formales de los cuantificadores; en este texto utilizaremos el símbolo «∀» para el cuantificador universal (también llamado generalizador) y el símbolo «∃» para el cuantificador existencial (o particularizador)6.

Los cuantificadores se aplican sobre variables; es decir, actúan como adjetivos que determinan pronombres. Así, «∀xPx» se lee como «todo algo es P», donde el adjetivo «todo» cumple el oficio del cuantificador, determinando al pronombre «algo», el cual cumple el papel de la variable x.

Las variables son símbolos que representan a cualquiera de los elementos de un determinado conjunto. Esto es, son esquematizaciones de elementos del lenguaje, generalmente de nombres, en la medida en que el lenguaje está principalmente representado por nombres7. En la lógica cuantificacional de primer orden, las únicas variables que pueden ser cuantificadas son las que denotan individuos, mientras que en cálculos de orden superior también pueden ser cuantificadas variables que se refieren a predicados o relaciones. Asimismo, las variables pueden mostrarse de dos modos en una fórmula: libres, si no aparecen con un cuantificador delante, y ligadas en caso contrario: en «∀xRxy», x es una variable ligada, pero y es libre. Y cuando una fórmula contiene al menos una variable libre se trata de una fórmula abierta; esto es, una fórmula que no es verdadera ni falsa —sólo lo será si se sustituye la variable libre por un nombre o un término que designe un individuo, o siendo cuantificada.

Por tanto, si x e y son variables, P una propiedad cualquiera y R una relación cualquiera, y si Px significa «x tiene la propiedad P» y Rxy significa «x e y están en la relación R», los esquemas cuantificacionales más simples son:

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∀xPx (Para todo x, Px) ∃xPx (Para algún x, Px [hay al menos un x tal que Px]) ∀x∀yRxy (Para todo x y para todo y, Rxy)

∀x∃yRxy (Para todo x y para algún y, Rxy) ∃x∃yRxy (Para algún x y para algún y, Rxy)

Igualmente, cualquier conectiva proposicional —como la conjunción, la negación o el condicional— puede estar bajo el alcance de los cuantificadores: ∃x(Fx ∧ Gx); ∀x(Fx ⊃ ~Gx); etc.

En definitiva, la cuantificación es la operación por medio de la cual, mediante los cuantificadores, puestos delante de las variables de una fórmula, se determina la extensión de los términos que designan individuos que satisfacen dicha fórmula.

Los cuantificadores universal y existencial son interdefinibles por medio de la negación y, en consecuencia, reducibles uno al otro. Así, podemos transformar cualquier cuantificador universal en uno existencial, y viceversa, añadiendo un símbolo de negación inmediatamente delante y detrás del cuantificador:

***

∀xPx ≡ ~∃x~Px ~∀xPx ≡ ~~∃x~Px ≡ ∃x~Px ∀x~Px ≡ ~∃x~~Px ≡ ~∃xPx ~∀x~Px ≡ ~~∃x~~Px ≡ ∃xPx

***

Estas «dualidades» de cuantificador son análogas a las dualidades de De Morgan en la lógica proposicional, que abarcan la conjunción, la disyunción y la negación.

No es casual esta semejanza con la lógica proposicional, pues el cuantificador universal representa la aplicación reiterada de la conjunción a los elementos del «dominio de referencia» —es decir, al conjunto de todos los individuos o cosas que pueden reemplazar a las variables en un determinado contexto—; y el cuantificador existencial entraña la aplicación reiterada de la disyunción a esos elementos. Entonces, si a, b, c, d... son elementos del dominio de referencia, ∀xPx equivale a la conjunción Pa ∧ Pb ∧ Pc ∧ Pd... y ∃xPx equivale a la disyunción Pa ∨ Pb ∨ Pc ∨ Pd... De aquí el uso del símbolo « b » para el existencial. De este modo, la lógicaPage 43cuantificacional es reducible a la lógica proposicional cuando el universo del discurso o dominio de referencia es finito. Como dice Garrido8, resulta paradójico que la estructura de la lógica, que debiera ser independiente de cualquier universo, dependa de la estructura finita o infinita del universo al que se aplique.

Otra diferencia importante entre los dos cuantificadores es la que se refiere a sus diversas implicaciones ontológicas: de la cuantificación existencial se infiere la existencia de por lo menos algún individuo que satisfaga la fórmula. Por ejemplo, al decir que «algunos autobuses son eléctricos» estamos afirmando implícitamente que existen ciertos objetos, ciertos vehículos de transporte de pasajeros denominados «autobuses». Esto se debe a que la cuantificación existencial entraña una conjunción por la que a ciertos individuos con una propiedad se les asigna otra; es decir, se produce la coincidencia de dos predicados en un mismo individuo: la de ser un tal x que es un autobús y que es eléctrico; formalmente: ∃x(Ax ∧ Ex). Sin embargo, de la cuantificación universal de una variable no puede deducirse que exista efectivamente un individuo que verifique el enunciado resultante. Por ejemplo, cuando decimos que «todos los ángeles son bellos» estamos expresando una conexión entre dos predicados («ser ángel» y «ser bello»), una suerte de «principio universal» tal que una propiedad conlleva o implica la otra: ∀x(Ax ⊃ Bx). Aquí no hay ninguna afirmación de existencia, sino sólo de relación condicional y ésta es verdadera o falsa independientemente de la existencia —en este caso de la existencia de individuos que sean ángeles. (Recuérdese que en la lógica proposicional clásica un condicional es falso sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, por lo que, en nuestro ejemplo, al ser el antecedente falso, el condicional será siempre necesariamente verdadero —lógica o analíticamente verdadero9.)

Veremos más adelante que estas consideraciones sobre las implicaciones ontológicas del cuantificador existencial serán relevantes para el análisis de los derechos positivos.

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2. Los derechos positivos y el cuantificador existencial

Decimos que tener un derecho a algo es que a uno le sea lícito tener o hacer ese algo. Es lo que se denomina «derecho subjetivo», es decir, la posibilidad o la capacidad de hacer o exigir alguna cosa por considerarse legítimo o estar así establecido. Sin embargo, se distinguen dos tipos fundamentales de derechos subjetivos: los que se denominan «derechos negativos» y los llamados «derechos positivos». Los primeros prescriben la ausencia de trabas o imposiciones para realizar una acción («libertades de»): el derecho a manifestar las opiniones (libertad de expresión), a asociarse con otros (libertad de asociación), a no pensar de un modo determinado (libertad de conciencia), etc. Son los propios de las primeras declaraciones de Derechos Humanos de inspiración liberal. Esto es, los derechos negativos conllevan la obligación hacia los demás de no impedir, obstaculizar o estorbar el ejercicio de tal derecho; es decir, una «obligación de omisión», un deber de abstenerse de hacer algo. En cambio, los derechos positivos no son derechos a que no haya algo que impida realizar una acción sino que son precisamente derechos a que haya un algo con ciertos rasgos (vivienda, atención sanitaria, educación, etc.). Por tanto, los derechos positivos conllevan deberes no puramente negativos de los demás...

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