Un procedimiento bayesiano para la selección de modelos

AutorAgustín Alonso Rodríguez
CargoReal Centro Universitario «Escorial-María Cristina» San Lorenzo del Escorial
Páginas429-442

Page 429

I Introducción

El tema de la incertidumbre inherente a todo modelo estadístico o econométrico raramente es aludido explícitamente en el ámbito de las aplicaciones. Se puede afirmar que la práctica generalizada en este tema es que, una vez que un modelo estimado supera la fase de su validación, se considera apto para el tema en estudio y además se considera como si fuera el verdadero modelo a la hora de tomar conclusiones.

Relacionado con el tema de la incertidumbre está el de la selección de variables en vistas a alcanzar el modelo parsimonioso más apropiado al caso.

En paralelo con este segundo tema, está el de la combinación de modelos en vistas a lograr mejores predicciones, o predicciones más ajustadas a los datos.

El objetivo de este artículo es presentar y aplicar el enfoque bayesiano que permite abordar los tres temas enunciados, aprovechando la incorporación al Proyecto R del paquete estadístico BMA: Bayesian Model Averaging, obra conjunta de los profesores Adrian Raftery, Jennifer Hoeting, Chris Volinsky e Ian Painter.

II Precedentes históricos

Desde la década de los 90 del pasado siglo, el enfoque bayesiano ha experimentado un notable resurgir gracias a las posibilidades de cálculo y simulación de los ordenadores.

Así mismo, la combinación de modelos para alcanzar predicciones más acordes con los hechos, ya tiene un notable recorrido. La primera mención se atribuye a Bernard (1963), si bien, en el ámbito de la economía, el trabajo decisivo de Bates y Granger (1969) ha Page 430 sido el promotor de una vasta corriente de investigación; Clement (1989) recoge una bibliografía comentada al respecto.

Por su parte Roberts (1965) sugirió una distribución de probabilidad que permite combinar la opinión de dos expertos o modelos. Esta distribución es esencialmente una media ponderada de las distribuciones de probabilidad finales de los dos modelos, y es parecida al BMA.

Llegados a este punto, quizás sea necesario añadir una nota terminológica. En el enfoque bayesiano se hace continua referencia a las probabilidades a priori y a posteriori. En este trabajo utilizaremos la terminología establecida por el profesor José-Miguel Bernardo (1981), de la Universidad de Valencia, uno de los pioneros y mayores divulgadores de la estadística bayesiana en España. Él traduce la probabilidad a priori como probabilidad inicial, y la probabilidad a posteriori como probabilidad final. Estos serán los términos aquí utilizados.

Leamer (1978) amplió las ideas de Roberts y presentó el paradigma básico del BMA. Además, destacó la idea de que BMA tiene en cuenta la incertidumbre presente en el proceso de la selección de modelos. El libro de Leamer no tuvo una gran difusión, en parte por las dificultades para realizar y calcular el BMA, y, en parte, porque había que esperar a desarrollos teóricos nuevos.

Sin entrar en detalles, otros nombres a recordar son los de Chatfield (1995), Drapper (1995), y Raftery (1995).

En el ámbito reciente de la econometría y de la microeconometría, el enfoque bayesiano está cobrando un notable auge; baste citar como ejemplos a Geweke (2005), Lancaster (2004), Rossi et al. (2005), sin olvidar el ya lejano aporte de Zellner (1971).

III Algunas ideas básicas

Supongamos que se trata de hacer inferencia sobre una magnitud o concepto de interés, llamémosla 0 , que puede ser un parámetro o vector de parámetros, el valor de una observación futura o la toma de una decisión. Partimos de un conjunto de observaciones o datos: D, y, asimismo, tenemos un conjunto de modelos para poder hacerlo. Estos modelos son resultado de las distintas combinaciones posibles Page 431 que permiten hacer los regresores de cualquier modelo, en teoría un total de 7p, siendop el número de regresores del modelo.

El enfoque bayesiano permite expresar la incertidumbre en términos de probabilidad, y bastan las reglas básicas del cálculo de probabilidades para poder hacer inferencia. De hecho, el BMA no es más que la estadística bayesiana básica.

Así, como consecuencia de la regla o teorema de la probabilidad total, la probabilidad final BMA de 0 viene dada por:

(Fórmula en Documento Pdf) (1)

siendo (Fórmula en Documento Pdf) la probabilidad o distribución de probabilidad final de 0 , dado el modelo Mk y los datos D, y p{Mk \ D) la probabilidad o distribución de probabilidad final de Mk, tomado como el modelo verdadero, considerando que uno de los modelos propuestos es el verdadero.

El teorema o regla de la probabilidad total permite expresar la probabilidad en que estamos interesados en función de otras probabilidades que pueden ser más sencillas de obtener.

Así, pues, podemos formular (1) en palabras diciendo que la probabilidad final BMA de 0 es la suma ponderada de las probabilidades finales de 0 bajo cada uno de los modelos, tomando como ponderaciones las probabilidades finales de cada modelo.

En (1),(Fórmula en Documento Pdf) pueden ser una cualquiera de las posibles funciones de probabilidad: funciones de densidad de probabilidad, funciones masa de probabilidad o funciones acumulativas de probabilidad.

Hay que señalar que la suma en (1) puede resultar prácticamente intratable dado el elevado número de modelos posibles a promediar. Por esto, se han propuesto varias soluciones al problema.

El primer enfoque consiste en promediar sólo un subconjunto de modelos, de acuerdo con el método denominado la ventana de Occam (Madigan y Raftery, 1994).

Dos razones básicas justifican el método. La primera afirma que el modelo que de manera notoria haga predicciones peores que las de otro modelo, queda descartado. La segunda razón lleva a excluir Page 432 aquellos modelos más complejos y con menos soporte de los datos que tengan equivalentes más simples.

Se trata...

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