Logit Model como modelo de elección discreta: origen y evolución

AutorElena Martínez Rodríguez
CargoUniversidad Complutense de Madrid
Páginas471-483

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I Introducción

Actualmente el uso de los modelos de la familia logit es apropiado en muchas ciencias como la Economía, la Medicina, la Biología, la Psicología, la Teoría de la Decisión. El objeto de este artículo es realizar un recorrido por la historia del modelo logit, desde su aparición en el siglo XIX hasta nuestros días, prestando especial atención al trabajo de McFadenn (1973), quien vincula este modelo a la Teoría de la Elección Discreta, abriendo un nuevo campo de trabajo que le hizo merecedor del Premio Nobel en Economía en el año 2000.

La ecuación o función logística se define como:

(Fórmula en Documento Pdf) (1)

En esta expresión, habitualmente P denota una función de probabilidad, e Y indica una combinación lineal del tipo

(Fórmula en Documento Pdf) (1)

Así definida, la función logística cumple las propiedades de ser una función monótona creciente, acotada en el intervalo [0,1]. Su representación gráfica (figura 1) es una curva de forma sinusoidal en la que observamos que para valores pequeños de la variable Y la función experimenta un crecimiento lento, que aumenta rápidamente a medida que aumenta la variable (en este tramo se asemeja al crecimiento exponencial), y, finalmente, se ralentiza para valores altos de Y, alcanzado su cota máxima situada en el valor 1. Page 472

Figura 1.

(Figura en Documento Pdf)

El significado de esta ecuación depende de la definición de las variables. Por ejemplo, en Biología es frecuente que P sea la función de probabilidad del suceso dicotómico supervivencia o muerte del organismo observado cuando es sometido a un estímulo continuo, expresado éste mediante un modelo lineal (Y)

II Origen del logit model: ecuación de Verhulst

Según Thompson, el término «curva logística» debe atribuirse a Edward Wright (1558-1615), quien usó este término para referirse a una curva o ecuación logarítmica.

No obstante, debemos esperar hasta el siglo XIX para que la función logit o ecuación logística se desarrollara tal y como la conocemos hoy en día. Esta función se aplicó de forma independiente en dos ámbitos bien diferenciados: en química, para explicar reacciones autocatalíticas y en demografía, para explicar el crecimiento de poblaciones. Hay que destacar que la trayectoria en ambas disciplinas es distinta: su uso en química ha sido ininterrumpido, mientras que en demografía hay un periodo prolongado en el que cae en un injustificado olvido.

Una reacción química es clasificada como autocatalítica o en cadena cuando el producto en sí mismo es el catalizador de la reacción. Son reacciones que se caracterizan porque al principio proceden lentamente debido a la escasa presencia del elemento catalizador, aunque va aumentando progresivamente para, al final, sufrir un retroceso al disminuir la concentración del reactivo. La función logística, tal como hemos visto en el apartado anterior, describe la evolución temporal de este tipo de reacciones. Prueba de ello son los trabajos, fechados en 1883, del químico alemán W. Ostwald.

El otro campo en el que se utilizó la ecuación logística para describir un fenómeno fue la demografía. En concreto, la ecuación logística de crecimiento de una población fue propuesta por P. Verhulst Page 473 como una posible solución al dilema del crecimiento exponencial de Malthus.

A finales del siglo XVIII el economista inglés Thomas Robert Malthus, publicó la obra Ensayo sobre el principio de la población (1798), en la que expuso y defendió sus teorías sobre el crecimiento demográfico, según las cuales la población humana tiende a crecer en progresión geométrica mientras que los medios de subsistencia lo hacen en progresión aritmética, principio que hoy conocemos como «Ley exponencial de crecimiento poblacional». Este modelo podemos representarlo por la siguiente expresión:

(Fórmula en Documento Pdf) (2)

siendo W(t) el tamaño de la población en el instante t, W(0) el tamaño inicial y |3 la tasa constante de crecimiento.

Alfhonse Quetelet, matemático y astrónomo belga (1795-1874), fue uno de los primeros en considerar que el modelo exponencial de crecimiento no era adecuado para explicar la expansión demográfica de un país. Si bien podía reflejar la situación de Estados Unidos a principios del siglo XIX (modelo poblacional observado por Malthus), un país joven y casi vacío, su aplicación a otras sociedades conduciría a valores imposibles. Quetelet estaba convencido de que una población no podía crecer indefinidamente, sino que existían fuerzas, tanto externas como internas, que tienden a prevenir este crecimiento. Aunque sus aportaciones en dinámica de la población no son destacables, la referencia a este autor es obligada porque fue profesor, en la Universidad de Gante, de Pierre-Francois Verhulst (1804-1849) con quien trabajó durante un largo periodo y sobre quien tuvo una gran influencia tanto en su vida personal como en su obra. Quetelet fue pionero en la aplicación de la Estadística y la Teoría de la Probabilidad a las ciencias sociales; definió por primera vez el concepto de «persona media» e inventó lo que llamó la física social, basada en la aplicación de las ideas de probabilidad y estadística a los fenómenos sociales y políticos. Su preocupación por el orden social y el papel que le atribuía a la ciencia como un instrumento fundamental para su control, son determinantes en la formación y en la trayectoria académica y científica de su discípulo.

Verhulst abordó el problema del crecimiento de una población adoptando las hipótesis de Quetelet y, por tanto, consideró que es un Page 474 proceso limitado. Demostró que la tasa de crecimiento de una población está limitada directamente por su propia densidad. Por este motivo añadió al modelo propuesto por Malthus un término adicional que representa la resistencia al crecimiento:

(Fórmula en Documento Pdf) (3)

En concreto, -...

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